Question

【題目】如圖1，在梯形中，，點在線段上，且滿足，將沿翻折，使翻折后的二面角的余弦值為，如圖2．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）先根據菱形的性質證得線線垂直，再根據線面垂直的判定定理證得線面垂直，最后根據線面垂直的性質定理證得線線垂直；

（2）先通過作輔助線找到所求的線面角及二面角的平面角，再通過解三角形求相關線段的長度，即可得線面角的正弦值，也可根據垂直關系建立空間直角坐標系進行求解．

解：（1）在梯形中，

連接，

記．

由題意易得，

所以四邊形是平行四邊形，

又，

所以四邊形是菱形，

所以，

所以．

又，平面，

所以平面，又平面，

所以．

（2）因為平面平面，

所以平面平面．

過點作交的延長線于點，

如圖所示，

因為平面平面，

所以平面．

延長交于點，連接，

則為直線與平面所成的角．

由，

得二面角的平面角為，

則，

所以．

由四邊形是菱形，

且易得，

得為等邊三角形，

所以，

所以．

在中，易知為的中位線，，

所以，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為．