Question

甲、乙兩人同時參加奧運志愿者選拔賽的考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題才能入選．
（I）求甲答對試題數ξ的分布列及數學期望；
（II）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．

Answer 1

【答案】分析：對于（I）求甲答對試題數ξ的分布列及數學期望，因為隨機抽出3道題進行測試，故甲答對試題數ξ的可能取值為0，1，2，3，然后分別求出每種取值的概率，即可得到分布列，由分布列和期望公式求得期望即可．
對于（II）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率，可以設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，分別求出事件A、B的概率．然后根據相互獨立事件的概率乘法公式求得兩人都不入選的概率．題目求至少一人入選，可以用1減去兩人都不入選的概率即可．
解答：解：（I）依題意，甲答對試題數ξ的可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
．
∴ξ的分布列為

甲答對試題數ξ的數學期望為
（II）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則，
因為事件A、B相互獨立，
∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為
故甲、乙兩人于少有一人考試合格的概率為．
點評：此題主要考查離散型隨機變量的分布列及期望的求法，其中涉及到相互獨立事件概率乘法公式的應用問題，題目涵蓋知識點多有一定的技巧性，屬于中檔題目．