Question

已知函數f（x+1）是偶函數，且x＞1時，f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，則（x+3）f（x+4）＜0的解集為（　　）

• A、（-∞，-2）∪（4，+∞）
• B、（-6，-3）∪（0，4）
• C、（-∞，-6）∪（4，+∞）
• D、（-6，-3）∪（0，+∞）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x+1）是偶函數知，f（x）圖象關于x=1對稱，又x＞1時，f′（x）＜0恒成立，知道f（x）在（1，+∞）遞減，在（-∞，1）上遞增，再結合f（4）=0，可得到（x-1）f（x）＜0的解集，運用換元法可求得（x+3）f（x+4）＜0的解．

解答： 解：∵函數f（x+1）是偶函數，∴其圖象關于y軸對稱，
∵f（x）的圖象是由f（x+1）的圖象向右平移1個單位得到的，
∴f（x）的圖象關于x=1對稱，
又∵x＞1時，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上遞減，在（-∞，1）上遞增，
又f（4）=0，∴f（-2）=0，
∴當x∈（-∞，-2）∪（4，+∞）時，f（x）＜0；當x∈（-2，1）∪（1，4）時，f（x）＞0；
∴對于（x-1）f（x）＜0，當x∈（-2，1）∪（4，+∞）時成立，
∵（x+3）f（x+4）＜0可化為（x+4-1）f（x+4）＜0，
∴由-2＜x+4＜1或x+4＞4得所求的解為-6＜x＜-3或x＞0．
故選D

點評：抽象函數問題一般借助于數形結合的思想解決，解題中要注意圖象變換方法的運用．