Question

集合D={平面向量}，定義在D上的映射f，滿足對任意x∈D，均有f（x）=λx（λ∈R且λ≠0）．
（1）若|

a

|=|

b

|，且

.

a

與

b

不共線，試證明：[f（

a

）-f（

b

）]⊥（

a

+

b

）；
（2）若A（1，2），B（3，6），C（4，8），且f（

BC

）=

AB

，求f（

AC

）•

AB

．

Answer 1

分析：（1）直接求數量積，利用多項式乘多項式展開計算，求得數量積等于0；
（2）直接代入向量的坐標，利用數量積的坐標運算求得答案．

解答：（1）證明：由題意有[f（

a

）-f（

b

）]•（

a

+

b

）=（λ

a

-λ

b

）（

a

+

b

）=λ（

a

2-

b

2）=0．
∵f（

a

）-f（

b

）≠0，

a

+

b

≠0，∴[f（

a

）-f（

b

）]⊥（

a

+

b

）；
（2）解：

AB

=（2，4），

BC

=（1，2），∴f（

BC

）=λ（1，2）=（2，4），∴λ=2．
又

AC

=（3，6），∴f（

AC

）•

AB

=2（3，6）•（2，4）=60．

點評：本題考查了數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，考查了平面向量的數量積運算，屬基礎型的新定義題．