Question

已知函數函f（x）=x|x|-2x  （x∈R）
（1）判斷函數的奇偶性，并用定義證明；
（2）作出函數f（x）=x|x|-2x的圖象；
（3）討論方程x|x|-2x=a根的情況．

Answer 1

分析：（1）利用零點分段法，我們易將函數的解析式化為分段函數的形式，然后根據分段函數奇偶性的判判斷方法，分類討論，即可得到結論．
（2）根據分段函數圖象分段畫的原則，結合（1）中函數的解析式及二次函數圖象的畫法，即可得到函數的圖象；
（3）根據（2）中的圖象，結合函數的極大值為1，極小值為-1，我們易分析出方程x|x|-2x=a根的情況．

解答：解：（1）∵f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∴當x＞0時，-x＜0，故f（-x）=-x²+2x，=-f（x）
當x＜0時，-x＞0，故f（-x）=x²+2x=-f（x）
當x=0時，-x=0，故f（-x）=-f（x）=0
綜上函數f（x）=x|x|-2x為奇函數
（2）由（1）中f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

則函數的圖象如下圖所示：

（3）由圖可知：
當a＜-1，或a＞1時，方程x|x|-2x=a有一個根；
當a=-1，或a=1時，方程x|x|-2x=a有二個根；
當-1＜a＜1時，方程x|x|-2x=a有三個根；

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數奇偶性的判斷及二次函數的圖象，其中要判斷方程x|x|-2x=a根的情況．關鍵是要畫出函數的圖象，數形結合得到結論．