Question

設圓滿足(1)y軸截圓所得弦長為2.(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為3∶1，在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x－2y=0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

設圓的圓心為P(a,b),半徑為r，則P到x軸，y軸的距離分別為｜b｜、｜a｜，由題設知圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°,故圓P截x軸所得弦長為r=2b.   
∴r²=2b²          ①
又由y軸截圓得弦長為2，  ∴r²=a²+1        ②
由①、②知2b²－a²=1.又圓心到l:x－2y=0的距離d=,
∴5d²=(a－2b)²=a²+4b²－4ab≥a²+4b²－2(a²+b²)=2b²－a²=1.當且僅當a=b時“=”號成立，
∴當a=b時，d最小為，由
得或由①得r=.
∴(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2為所求．

同答案