Question

已知數列{a_n}，定義其倒均數是Vn=

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

n

，n∈N*．
（1）求數列{a_n}的倒均數是Vn=

n+1

2

，求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設等比數列{b_n}的首項為-1，公比為q=

1

2

，其倒數均為V_n，若存在正整數k，使n≥k時，V_n＜-16恒成立，試求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）此題先給出一個新概念，據其定義式經過適當變形后，再利用求數列通項公式的常用方法：當n=1，c₁₌s₁當n≥2時，c_n=s_n-s_n-1，就可以求出其通項公式．
（2）先據已知條件求出V_n，進而求出適合題意的K值．

解答：解：（1）依題意，

1 a 1 + 1 a 2 +…+ 1 a n

n

=

n+1

2

即

1

a 1

+

1

a 2

+…+

1

a n

=

n2+n

2

…（2分）
當n≥2時，

1

a 1

+

1

a 2

+…+

1

a n-1

=

(n-1)2+(n-1)

2

兩式相減得，得

1

an

=n．(n≥2)∴an=

1

n

(n≥2)…（6分）
當n=1時，

1

a1

=1∴a₁=1適合上式…（7分）
故an=

1

n

．…（8分）
（2）由題意，bn=-(

1

2

)n-1∴

1

bn

=-2n-1．…..（10分）
Vn=

1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn

n

=

-(2-2n) 1-2

n

=

1-2n

2

…（12分）
不等式V_n＜-16恒成立，即

1-2n

n

＜-16，也即2n-1＞16n恒成立．
易驗證當n≤6時，左邊＜右邊；
當n=7時，左邊=127＞112=右邊．
故適合不等式V_n＜-16的最小K值為7．…（14分）

點評：此題是建立在新定義式的基礎上的常規題，只要適當變形不難解決本題，關鍵是掌握基礎知識和基本方法．