Question

（本小題滿分13分）已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k₁、k₂滿足，試推斷：動直線DE是否過定點？證明你的結論。

 

Answer 1

【答案】

（1）動點的軌跡的方程 （2）直線DE過定點(-1,-2)

【解析】（1）設，則，∵，

∴． ，

所以動點的軌跡的方程．                         ………５分

（2）將A(m,2)代入得m=1, ∴A(1,2)      …………………………６分

 法一: ∵兩點不可能關于x軸對稱，∴DE不斜率必存在

設直線DE的方程為

由得

∴………………………８分

∵且

∴  …………………９分

將代入化簡得

…………………………………10分

將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,過定點(-1,- 2)…………11分

將b=2-k代入y=kx+b

得y=kx+2-k=k(x-1)+2,過定點(1,2)即為A點，舍去

∴直線DE過定點（-1，-2）  …………………………………………13分

 法二：設，(5分)則      ……７分

同理,由已知得

   …………9分

設直線DE的方程為x=ty+n代入

得      …………10分

∴,直線DE的方程為   …12分

即直線DE過定點(-1,-2)        ………13分