Question

已知(＋x²)²ⁿ的展開式的二項式系數和比(3x－1)ⁿ的展開式的二項式系數和大992，求(2x－)²ⁿ的展開式中：
(1)二項式系數最大的項；
(2)系數的絕對值最大的項．

Answer 1

（1）第6項   （2）第4項

由題意知，2²ⁿ－2ⁿ＝992，
即(2ⁿ－32)(2ⁿ＋31)＝0.
∴2ⁿ＝32，解得n＝5.
(1)由二項式系數的性質知，(2x－)¹⁰的展開式中第6項的二項式系數最大．
即T₆＝·(2x)⁵·(－)⁵＝－8064.
即二項式系數最大的項為第6項為－8064.
(2)設第r＋1項的系數的絕對值最大．
∵T_r＋1＝·(2x)^10－r·(－)^r
＝(－1)^r·2^10－r·x^10－2r，
∴，得 
即
解得≤r≤.
∵r∈Z，∴r＝3.
故系數的絕對值最大的項是第4項，
T₄＝－·2⁷·x⁴＝－15360x⁴.