Question

6、在平面上，兩條直線的位置關系有相交、平行、重合三種．已知α，β是兩個相交平面，空間兩條直線l₁，l₂在α上的射影是直線S₁，S₂，l₁，l₂在β上的射影是直線t₁，t₂．用S₁與S₂，t₁與t₂的位置關系，寫出一個總能確定l₁與l₂是異面直線的充分條件：

S₁∥S₂，并且t₁與t₂相交（或：t₁∥t₂，并且S₁與S₂相交）

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Answer 1

分析：由空間兩條直線l₁，l₂在α上的射影是直線S₁，S₂，則當S₁∥S₂時，表示l₁，l₂平行或異面，而當S₁與S₂相交時，表示l₁，l₂相交或異面，故能確定l₁與l₂是異面直線的充分條件必然是l₁，l₂在α上的射影S₁，S₂，在β上的射影t₁，t₂．一組平行一組相交．

解答：解：∵當l₁，l₂異面時，l₁，l₂在α上的射影是直線S₁，S₂，可能平行或相交；
l₁，l₂在β上的射影是直線t₁，t₂，可能平行或相交；
但當直線S₁∥S₂與直線t₁∥t₂，同時成立時，則l₁∥l₂；
而當直線S₁與S₂、直線t₁與t₂，均相交時，則l₁與l₂與可能相交；
故能確定l₁與l₂是異面直線的充分條件是：S₁∥S₂，并且t₁與t₂相交（或：t₁∥t₂，并且S₁與S₂相交）
故答案：S₁∥S₂，并且t₁與t₂相交（或：t₁∥t₂，并且S₁與S₂相交）

點評：本題考查的知識點是異面直線的判斷，及充要條件的判斷，根據空間中線與面之間的關系，根據平行投影，我們對線面關系進行分類討論，即可得到結論．