Question

在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，AC=4，AB=4

3

，VP-ABC=16

3

，側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等．
（Ⅰ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，p在平面ABC內(nèi)的射影是Rt△ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn)O．取AC的中點(diǎn)D，連PD，DO，PO，根據(jù)三垂線定理，∠PDO 為所求，再解三角形求出二面角的大小即可．
（Ⅱ）利用等體積變換，V_P-ABC=V_B-PAC=

1

3

S△APC•h，其中點(diǎn)B到平面PAC的距離，求出三角形PAC的面積，代入求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，
∴點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是Rt△ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn)O
取AC的中點(diǎn)D，連PD，DO，PO，則VP-ABC=

1

3

(

1

2

•AC•AB)•OP=

1

3

(

1

2

•4•4

3

)•OP=16

3

，
∴OP=6．∵OP⊥平面ABC，
∴OD是PD在平面ABC內(nèi)的射影，
∵AC⊥OD，∴AC⊥PD．∴∠PDO為二面角P-AC-B的平面角． 
在Rt△POD中，tan∠PDO=

OP

OD

=

3

，
∴∠PDO=

π

3

，
故二面角P-AC-B的大小為

π

3

． 
（Ⅱ）∵AC=4，PD=

OP2+OD2

=4

3

，
∴S△APC=

1

2

AC•PD=8

3

．
設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h，則由V_P-ABC=

1

3

S△APC•h=16

3

解方程得h=6，∴點(diǎn)B到平面PAC的距離等于6．

點(diǎn)評：本題考查二面角、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力，計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力．空間問題平面化，是解決空間問題最核心的思想方法． 在點(diǎn)到平面距離的計(jì)算問題中，利用等體積變換也是常用方法，好處在于不用具體作出點(diǎn)到面的垂線段．