Question

（2012•東城區模擬）直線l1：y=kx+1-k(k≠0，k≠±

1

2

)與l2：y=

1

2

x+

1

2

相交于點P．直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標構成數列{x_n}．
（1）當k=2時，求點P₁，P₂，P₃的坐標并猜出點P_n的坐標；
（2）證明數列{x_n-1}是等比數列，并求出數列{x_n}的通項公式；
（3）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小．

Answer 1

分析：（1）根據直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，可得點P₁，P₂，P₃的坐標，從而猜出點P_n的坐標；
（2）確定Q_n，P_n+1的坐標，利用P_n+1在直線l₁上，對其變形，即可證得結論；
（3）求出P的坐標，表示出2|PPn|2與4k2|PP1|2+5，分類討論，即可得到結論．

解答：（1）解：由題意可P1(

1

2

，0)，P2(

7

8

，

3

4

)，P3(

31

32

，

15

16

)，可猜得Pn(

22n-1-1

22n-1

，

22n-2-1

22n-2

)．…（4分）
（2）證明：設點P_n的坐標是（x_n，y_n），由已知條件得點Q_n，P_n+1的坐標分別是：(xn，

1

2

xn+

1

2

)，(xn+1，

1

2

xn+

1

2

)．
由P_n+1在直線l₁上，得

1

2

xn+

1

2

=kxn+1+1-k．
所以

1

2

(xn-1)=k(xn+1-1)，即xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，n∈N*
所以數列{x_n-1}是首項為x₁-1，公比為

1

2k

的等比數列．
由題設知 x1=1-

1

k

，x1-1=-

1

k

≠0，
從而xn-1=-

1

k

×(

1

2k

)n-1，∴xn=1-2×(

1

2k

)n，n∈N*．…（9分）
（3）解：由

y=kx+1-k y= 1 2 x+ 1 2

得點P的坐標為（1，1）．
所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×(

1

2k

)2n+2(

1

2k

)2n-2，4k2|PP1|2+5=4k2[(1-

1

k

-1)2+(0-1)2]+5=4k2+9．
（i）當|k|＞

1

2

，即k＜-

1

2

或k＞

1

2

時，4k2|PP1|2+5＞1+9=10，
而此時0＜|

1

2k

|＜1，∴2|PPn|2＜8×1+2=10，
∴2|PPn|2＜4k2|PP1|2+5．
（ii）當0＜|k|＜

1

2

，∴k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)時，4k2|PP1|2+5＜1+9=10．
而此時|

1

2k

|＞1，∴2|PPn|2＞8×1+2=10，
∴2|PPn|2＞4k2|PP1|2+5．…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查大小比較，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．