Question

已知⊙M：x²+(y-2)²=1,Q是x軸上的動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點.

（1）若|AB|=，求直線MQ的方程；

（2）求證：直線AB恒過定點，并求出此定點坐標.

Answer 1

(1)解析：設AB交MQ于E點，(如下圖)則易知MQ垂直平分線段AB，

∴|ME|=.

由射影定理知，|MA|²=|ME|·|MQ|，

∴|MQ|=.

M（0，2），設Q（a,0）,

則|MQ|=.

解得a=±1,即Q（1，0）或Q（-1，0）.

∴直線MQ的方程為2x+y-2=0或2x-y+2=0.

(2)證明：QA、QB是⊙M的切線，則MA⊥AQ，MB⊥BQ，故A、M、B、Q四點共圓且MQ是此圓直徑，設此圓圓心為F.設Q（a,0）,則F（,1）,|MQ|=,∴⊙F的方程為即（x-）²+(y-1)²=即x²+y²-ax-2y=0聯立x²+(y-2)²=1，消去x²+y²項，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程：-ax+2y-3=0.

故直線AB恒過定點（0，）.