Question

如圖，設拋物線方程為，M為直線上任意一點，過M引拋物

線的切線，切點分別為A，B

（I）求證A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，一2p）時，．求此時拋物線的方程

（Ⅲ）是否存在點M．使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）若存在。求出所有適合題意的點M的坐標；

若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題意設A（），B（），，M（）

由，得，則，

所以  k_MA=,,k_MB

因此  直線MA的方程為

直線MB的議程為

所以             ①

              ②

由①、②得        因此

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x₀=2時，

將其代入①、②并整理得：

所以  x_1、x₂是方程的兩根，

因此 

又    ，

所以  

由弦長公式得

又   

所以   或

因此所求拋物線方程為或

（Ⅲ）解：設D（x_{3 ,} y₃）,由題意得C（x₁+x₂,y₁+y₂）,

則CD的中點坐標為，

設直線AB的方程為，

由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，

代入得

若D在拋物線上，則，

因此  或

即D（0，0）或D（）。

（1）當x₀=0時，則,此時，點M（0，-2p）適合題意。

（2）當，對于D(0,0),此時。