Question

如圖，設拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，|AB|=4

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．求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x²=2py（p＞0）上，其中，點C滿足

OC

=

OA

+

OB

（O為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意先設出A，B和M的坐標，對拋物線方程求導，進而表示出AM，BM的斜率，則直線AM和BM的直線方程可得，聯立后整理求得2x₀=x₁+x₂．推斷出A，M，B三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，x₀=2代入拋物線方程整理推斷出x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，利用韋達定理求得x₁+x₂的值，表示出直線AB的方程，利用弦長公式求得|AB|，進而求得p，則拋物線的方程可得．
（Ⅲ）設出D點的坐標，進而表示出C的坐標，則CD的中點的坐標可得，代入直線AB的方程，把D點坐標代入拋物線的方程，求得x₃，然后討論x₀=0和x₀≠0時，兩種情況，分析出答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：由題意設A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)，x1＜x2，M(x0，-2p)．
由x²=2py得y=

x2

2p

，得y′=

x

p

，
所以kMA=

x1

p

，kMB=

x2

p

．
因此直線MA的方程為y+2p=

x1

p

(x-x0)，
直線MB的方程為y+2p=

x2

p

(x-x0)．
所以

x 2 1

2p

+2p=

x1

p

(x1-x0)，①

x 2 2

2p

+2p=

x2

p

(x2-x0)．②
由①、②得

x1+x2

2

=x1+x2-x0，
因此x0=

x1+x2

2

，即2x₀=x₁+x₂．
所以A，M，B三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x₀=2時，
將其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，
所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，
又kAB=

x 2 2 2p - x 2 1 2p

x2-x1

=

x1+x2

2p

=

x0

p

，
所以kAB=

2

p

．
由弦長公式得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 4 p2

16+16p2

．
又|AB|=4

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，
所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為x²=2y或x²=4y．
（Ⅲ）解：設D（x₃，y₃），由題意得C（x₁+x₂，y₁+y₂），
則CD的中點坐標為Q(

x1+x2+x3

2

，

y1+y2+y3

2

)，
設直線AB的方程為y-y1=

x0

p

(x-x1)，
由點Q在直線AB上，并注意到點(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)也在直線AB上，
代入得y3=

x0

p

x3．
若D（x₃，y₃）在拋物線上，則x₃²=2py₃=2x₀x₃，
因此x₃=0或x₃=2x₀．
即D（0，0）或D(2x0，

2 x 2 0

p

)．
（1）當x₀=0時，則x₁+x₂=2x₀=0，此時，點M（0，-2p）適合題意．
（2）當x₀≠0，對于D（0，0），此時C(2x0，

x 2 1 + x 2 2

2p

)，kCD=

x 2 1 + x 2 2 2p

2x0

=

x 2 1 + x 2 2

4px0

，
又kAB=

x0

p

，AB⊥CD，
所以kAB•kCD=

x0

p

•

x 2 1 + x 2 2

4px0

=

x 2 1 + x 2 2

4p2

=-1，
即x₁²+x₂²=-4p²，矛盾．
對于D(2x0，

2 x 2 0

p

)，因為C(2x0，

x 2 1 + x 2 2

2p

)，此時直線CD平行于y軸，
又kAB=

x0

p

≠0，
所以直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，
所以x₀≠0時，不存在符合題意的M點．
綜上所述，僅存在一點M（0，-2p）適合題意．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系的綜合問題．考查了學生分析推理和分類討論思想的運用．