Question

已知函數y=的定義域為R．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）當m變化時，若y的最小值為f（m），求函數f（m）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用該函數的被開方數大于等于零得出該函數有意義需滿足的不等式，結合恒成立問題得出字母m滿足的不等式；
（2）通過配方法將函數的被開方數寫成二次函數的頂點式，求出y的最小值為f（m），借助m的范圍求出f（m）的值域．
解答：解：（1）依題意，當x∈R時，mx²-6mx+m+8≥0恒成立．當m=0時，x∈R；
當m≠0時，
即．
解之得0＜m≤1，故實數m的取值范圍0≤m≤1．
（2）當m=0時，y=2；
當0＜m≤1，y=．
∴y_min=．
因此，f（m）=（0≤m≤1），
易得0≤8-8m≤8．
∴f（m）的值域為[0，2]．
點評：本題考查偶次根式的定義域的求解，考查不等式恒成立問題的解決辦法，關鍵要進行等價轉化，利用單調性求值域是本題的另一個命題點．