Question

如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個(gè)側(cè)面都是正方形，D為底邊AB中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC₁中點(diǎn)，AB₁與A₁B交于點(diǎn)O．
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求證：平面AB₁C⊥平面A₁EB．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（Ⅰ）說(shuō)明三棱柱為正三棱柱，連結(jié)OD，證明CD∥EO，利用直線與平面平行的判定定理證明CD∥平面A₁EB．
（Ⅱ）證明AB₁⊥平面A₁EB，通過(guò)平面與平面垂直的判定定理證明平面A₁EB⊥平面AB₁C．

解答： 證明：（Ⅰ）∵棱柱的每個(gè)側(cè)面為正方形，
∴

AA1⊥AC AA1⊥AB

⇒AA₁⊥底面ABC，
∴三棱柱為正三棱柱，
連結(jié)OD，
∵D為AB中點(diǎn)，O為對(duì)面線AB₁，A₁B交點(diǎn)，∴OD∥

1

2

BB₁，
又E為CC₁中點(diǎn)，∴EC∥

1

2

BB₁，OD∥EC，
∴DCEO為平行四邊形，CD∥EO，
又CD?平面A₁EB，EO?平面A₁EB，∴CD∥平面A₁EB．
（Ⅱ）∵AB=AC=CB，∴CD⊥AB，
又直棱柱側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC，∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD⊥AB₁，
由（Ⅰ）CD∥EO，∴EO⊥AB₁，
又正方形中，A₁B⊥AB₁，EO∩A₁B=O，EO、A₁B?平面A₁EB，
∴AB₁⊥平面A₁EB，
又AB₁?平面AB₁C，∴平面A₁EB⊥平面AB₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力、邏輯推理能力．