Question

【題目】已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的直線交拋物線于兩點，線段的中點為，且滿足．

（1）若直線的斜率為1，求點的坐標；

（2）若，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

(1)由得拋物線的方程為，設直線方程為，與拋物線方程聯立可得到的縱坐標，從而得到點的坐標.
(2) 設直線方程為，與拋物線方程聯立可得到，又，可得，則可求出的范圍,然后用弦長公式求出的長，求出點到的距離，,然后再求最大值.

解（1）點是拋物線的焦點，則拋物線的方程為．

設直線方程為，，，

由，得，，，

由得

所以，，．

（2）設直線方程為．

，得，

從而．

由于為線段的中點，則，，即

又，則，從而

點在拋物線上，則，．

由于且，得，

又三點共線時，，所以．

又

點到的距離，

則，

記，則．

故在區間遞減，遞增，，此時

所以

四邊形面積的最大值為．