【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，平面
平面，
為
的中點，
，
.
（1）求二面角
的大小；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
.（2）
【解析】
（1）取
中點
，設
相交于
，連接
，
.通過等腰三角形的性質、面面垂直的性質定理，以及正方形的性質，證得
,由此以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，通過計算平面
和平面
的法向量，計算出二面角的余弦值，進而求得二面角的大小.（2）利用直線
的方向向量和平面
的法向量，計算出線面角的正弦值.
（1）取中點，設相交于，連接，.
因為
，所以
.
又因為平面
平面
，且
平面
，所以
平面.
因為
平面，所以
.
因為是正方形，所以
.
如圖建立空間直角坐標系
，則
，
，
，
，
.
設平面的法向量為
，則
，即
.
令
，則
，
.于是
.
平面的法向量為
，所以
.
由題知二面角
為銳角，所以它的大小為.
（2）由題意知
，
，
.
設直線與平面所成角為
，
則
.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省數學學會為選拔一批學生代表該省參加全國高中數學聯賽，在省內組織了一次預選賽，該省各校學生均可報名參加.現從所有參賽學生中隨機抽取
人的成績進行統計，發現這名學生中本次預選賽成績優秀的男、女生人數之比為
，成績一般的男、女生人數之比為
.已知從這名學生中隨機抽取一名學生，抽到男生的概率是
（1）請將下表補充完整，并判斷是否有
的把握認為在本次預選賽中學生的成績優秀與性別有關？
成績優秀 | 成績一般 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
|
（2）以樣本估計總體，視樣本頻率為相應事件發生的概率，從所有本次預選賽成績優秀的學生中隨機抽取
人代表該省參加全國聯賽，記抽到的女生人數為
，求隨機變量的分布列及數學期望.
參考公式：
，其中
；
臨界值表供參考：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃河被稱為我國的母親河，它的得名據說來自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現黃色， 黃河的水源來自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設黃河和洮河在汛期的水流量均為2000
，黃河水的含沙量為
，洮河水的含沙量為
，假設從交匯處開始沿岸設有若干個觀測點，兩股河水在流經相鄰的觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股河水在1秒內交換
的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.
（1）求經過第二個觀測點時，兩股河水的含沙量；
（2）從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于
?（不考慮泥沙沉淀）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
其中
為實數.設
，
為該函數圖象上的兩個不同的點.
（1）指出函數
的單調區間；
（2）若函數的圖象在點
，
處的切線互相平行，求
的最小值；
（3）若函數的圖象在點，處的切線重合，求的取值范圍.(只要求寫出答案).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在
地正西方向
的
處和正東方向
的
處各一條正北方向的公路
和
，現計劃在和路邊各修建一個物流中心
和
.
（1）若在處看，的視角
，在處看測得
，求
，
；
（2）為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路
和
，設
，公路的每千米建設成本為
萬元，公路的每千米建設成本為
萬元.為節省建設成本，試確定，的位置，使公路的總建設成本最小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查民眾對國家實行“新農村建設”政策的態度，現通過網絡問卷隨機調查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數分布和支持“新農村建設”人數如下表：
年齡 |
|
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頻數 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新農村建設” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
（1）根據上述統計數據填下面的
列聯表，并判斷是否有
的把握認為以50歲為分界點對“新農村建設”政策的支持度有差異；
年齡低于50歲的人數 | 年齡不低于50歲的人數 | 合計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合計 |
（2）為了進一步推動“新農村建設”政策的實施，中央電視臺某節目對此進行了專題報道，并在節目最后利用隨機撥號的形式在全國范圍內選出4名幸運觀眾（假設年齡均在20周歲至80周歲內），給予適當的獎勵.若以頻率估計概率，記選出4名幸運觀眾中支持“新農村建設”人數為
，試求隨機變量的分布列和數學期望.
參考數據：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數）.在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；
（2）若與相交于
兩點，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，邊長為3的等邊三角形ABC，E，F分別在邊AB，AC上，且
，M為BC邊的中點，AM交EF于點O，沿EF將
，折到DEF的位置，使
．
（1）證明
平面EFCB；
（2）試在BC邊上確定一點N，使
平面DOC，并求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△
DE，使平面DE⊥平面BCDE，若M為線段C的中點，下面四個命題中不正確的是（ ）
A.BM
平面DEB.CE⊥平面DE
C.DEBMD.平面CD⊥平面CE
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