Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．

（1）求證：AC⊥DE；
（2）求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）.

解析試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質與判定定理進行轉化. 因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC．因而AC⊥平面PDB，從而AC⊥DE．（2）設AC與BD相交于點F．連EF．由（1），知AC⊥平面PDB，所以AC⊥EF．所以S△ACE＝AC·EF，因此△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB．由△PDB∽△FEB，解得PD＝，因為PD⊥平面ABCD，所以VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．
（1）證明：連接BD，設AC與BD相交于點F．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．
E為PB上任意一點，DE平面PBD，所以AC⊥DE．
（2）連EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF． S△ACE＝AC·EF，在△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB．
S△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1． 
由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，
所以PB＝4PD，即．解得PD＝
VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．
考點：線面垂直性質與判定定理，四棱錐體積