Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（1）若，求函數f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）對f（x）進行求導，根據x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）的兩個極值點可知 和1是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，利用韋達定理建立方程組，解之即可；
（2）根據條件 建立b²關于a的函數關系，然后利用導數研究函數的最值即可求出b的最大值
解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有和1是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根
∴解得 ，∴f（x）=x³-x²-x．（經檢驗，適合）．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，∵x₁x₂=-＜0且 ，
∴，∴b²=3a²（9-a）
∵b²≥0∴0＜a≤9．
設p（a）=3a²（9-a），則p'（a）=54a-9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函數p（a）在區間（0，6]上是增函數，在區間[6，9]上是減函數，
∴當a=6時，p（a）有極大值為324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值為18．
點評：考查學生會用待定系數法求函數解析式，會利用導數研究函數的極值．