Question

【題目】在圓內有一點,為圓上一動點，線段的垂直平分線與的連線交于點．

（Ⅰ）求點的軌跡方程．

（Ⅱ）若動直線與點的軌跡交于、兩點，且以為直徑的圓恒過坐標原點.問是否存在一個定圓與動直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定圓總與直線相切

【解析】

（Ⅰ）由點在線段的上，結合垂直平分線的性質可得，從而由橢圓的定義可得結果；（Ⅱ）直線斜率不存在時，原點到直線的距離為，直線斜率存在時，可設直線的方程為，解消去得方程：，利用向量垂直數量積為零，結合韋達定理可得，由點點直線距離公式可得原點到直線的距離，進而可得結果.

（Ⅰ）圓的圓心為，半徑為

點在線段的垂直平分線上

又點在線段的上

由橢圓的定義可知點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，

，故點的軌跡方程為

（Ⅱ）假設存在這樣的圓.設， .

由已知，以為直徑的圓恒過原點，即，所以.

當直線垂直于軸時， ， ，所以，又，解得，

不妨設， 或， ，即直線的方程為或，此時原點到直線的距離為.

當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，解消去得方程： 因為直線與橢圓交于， 兩點，所以方程的判別式

即，且， .

由，得 ，

所以整理得（滿足）.

所以原點到直線的距離.

綜上所述，原點到直線的距離為定值，即存在定圓總與直線相切.