Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，F是側面BCC₁B₁內的動點，且A₁F∥平面D₁AE，則A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切值構成的集合是（　　）

A．{t| 2 5 5 ≤t≤2 3 }

B．{t| 2 5 5 ≤t≤2}

C．{t|2≤t≤2 3 }

D．{t|2≤t≤2 2 }

Answer 1

設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點F是線段MN上上的動點．
設直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運動點F并加以觀察，可得
當F與M（或N）重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此時所成角θ達到最小值，滿足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
當F與MN中點重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達到最大值，滿足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2

2

]
故選：D