Question

設橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，之間滿足什么關系；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求橢圓的離心率.

Answer 1

（1）直線與不能垂直；（2）

試題分析：（1）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，消去整理為關于的一元二次方程，因為有兩個交點則判別式應大于0，由韋達定理可得根與系數的關系，用中點坐標公式求點的坐標。求出直線的斜率，假設兩直線垂直則斜率相乘等于，解出的關系式，根據關系式及橢圓中的關系判斷假設成立與否。（2）∵M為ON的中點，M為AB的中點，∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，轉化為向量問題，可得的關系式。由中點坐標公式可得點的坐標，將其代入橢圓方程，與上式聯立消去即可得之間滿足的關系式。將代入之間的關系式，可求其離心率。
試題解析：解答：（1）∵斜率為1的直線不經過原點，而且與橢圓相交于兩點，
∴可以設直線的方程為.
∵，∴，
∴.    ①             1分
∵直線與橢圓相交于兩點，∴

. ②          2分
且.  ③              3分
∵為線段的中點，∴,
∴，∴.     4分
假設直線與能垂直.
∵直線的斜率為1，∴直線的斜率為-1，
∴，∴.                  5分
∵在橢圓方程中，，
∴假設不正確，在橢圓中直線與不能垂直.             6分
（2）∵M為ON的中點，M為AB的中點，∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，         7分
∴，∴，∴，
∴，
∴，整理得.   8分
∵點在橢圓上，∴，∴.    9分
此時，滿足，
消去得，即.            10分
設橢圓的離心率為e，則，∴，
∴，∴，
∴，∵，∴.