Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n滿足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a為常數，且a≠0，a≠1）
（1）若a=2，求數列{a_n}的通項公式
（2）設bn=

2Sn

an

+1，若數列{b_n}為等比數列，求a的值．
（3）在滿足條件（2）的情形下，設cn=

1

1+an

+

1

1-an+1

，數列{c_n}前n項和為T_n，求證Tn＞2n-

1

3

．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，S_n=2a_n-2，當n≥2時，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2，兩式相減得到遞推公式，再求解．
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，利用特殊項，必有b22=b1b3，求出a，再回代驗證，確定a的值．
（3）由（2）知an=(

1

3

)n，可得cn=

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=

3n+1-1

3n+1

+

3n+1-1+1

3n+1-1

=1-

1

3n+1

+1+

1

3n+1-1

=2-(

1

3n+1

-

1

3n+1-1

)，直接求和不易化簡計算，先進行放縮得出cn=2-(

1

3n+1

-

3

3n+1-1

)＞2-(

1

3n

-

1

3n+1

)，求和及證明可行．

解答：解：（1）當a=2時，S_n=2a_n-2
當n=1時，S₁=2a₁-2⇒a₁=2…（1分）
當n≥2時，S_n=2a_n-2S_n-1=2a_n-1′-2…（2分）
兩式相減得到a_n=2a_n-2a_n-1，（a_n-1≠0）得到

an

an-1

=2…（3分）an=2n…（4分）
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
若{b_n}為等比數列，
則有b22=b1b3，而b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

，
故(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，解得a=

1

3

，再將a=

1

3

代入得bn=3n成立，所以a=

1

3

．       …（9分）
（3）證明：由（2）知an=(

1

3

)n，
所以cn=

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=

3n+1-1

3n+1

+

3n+1-1+1

3n+1-1

=1-

1

3n+1

+1+

1

3n+1-1

=2-(

1

3n+1

-

1

3n+1-1

)，…11
由

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

得

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
所以cn=2-(

1

3n+1

-

3

3n+1-1

)＞2-(

1

3n

-

1

3n+1

)，…13
從而Tn=c1+c2+…+cn＞[2-(

1

3

-

1

32

)]+[2-(

1

32

-

1

33

)]+…[2-(

1

3n

-

1

3n+1

)]=2n-[(

1

3

-

1

32

)+(

1

32

-

1

33

)+…+(

1

3n

-

1

3n+1

)]=2n-(

1

3

-

1

3n+1

)＞2n-

1

3

．
即Tn＞2n-

1

3

．…14

點評：本題考查數列通項公式求解，數列性質的判斷，數列求和及放縮法證明不等式，靈活的考查了知識，具有一定的綜合性，屬于中檔題，也是好題．