Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的

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倍，P為側棱SD上的點．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AC⊥面SBD，然后利用線面垂直的性質證明AC⊥SD；
（Ⅱ）利用線面平行的性質定理確定E的位置，然后求出SE：EC的值．

解答：解：（Ⅰ）連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥面SBD，
所以AC⊥SD．
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，設正方形ABCD的邊長為a，
則SD=

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a，OD=

2

2

a，可得PD=

2

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a，
故可在SP上取一點N，使PN=PD，
過N作PC的平行線與SC的交點即為E，連BN．
在△BDN中知BN∥PO，
又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，
得BE∥面PAC，
由于SN：NP=2：1，
故SE：EC=2：1．

點評：本題主要考查線面平行的判定，要求熟練掌握線面平行的判定定理．