Question

在正項數列{a_n}中，令S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

．
（Ⅰ）若{a_n}是首項為25，公差為2的等差數列，求S₁₀₀；
（Ⅱ）若Sn=

nP

a1 + an+1

（P為正常數）對正整數n恒成立，求證{a_n}為等差數列；
（Ⅲ）給定正整數k，正實數M，對于滿足a₁²+a_k+1²≤M的所有等差數列{a_n}，求T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，利用等差數列的公差為2，得到

1

ai + ai+1

=

ai+1 - ai

2

，
所以S100=

a101 - a1

2

=

25+2×100 - 25

2

=5．
（Ⅱ）證：令n=1得到

p

a1 + a2

=

1

a1 + a2

，則p=1．
由于S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

=Sn=

nP

a1 + an+1

（1），
S_n+1=

n+1

∑i=1

1

ai + ai+1

=

(n+1)P

a1 + an+2

（2），
（2）-（1），將p=1代入整理得

(n+1)

a1 + an+2

-

n

a1 + an+1

=

1

an+1 + an+2

，
化簡得（n+1）a_n+1-na_n+2=a₁（3）
（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3=a₁（4），
（4）-（3）得a_n+1+a_n+3=2a_n+2對任意的n≥1都成立．
在（3）中令n=1得到，a₁+a₃=2a₂，從而{a_n}為等差數列．
（Ⅲ）記t=a_k+1，公差為d，
則T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1=（k+1）t+

k(k+1)

2

d，則

T

k+1

=t+

kd

2

，M≥a₁²+a_k+1²=t²+（t-kd）²=

4

10

(t+

kd

2

)2+

1

10

(4t-3kd)2≥

4

10

(t+

kd

2

)2=

2

5

(

T

k+1

)2
則T≤

(k+1) 10M

2

，
當且僅當

4t=3kd M= 2 5 (t+ kd 2 )2

，即

ak+1=t=3 M 10 d= 4 k M 10

時等號成立．