Question

（本小題滿分14分）
如圖所示，橢圓C： 的兩個焦點為、，短軸兩個端點為、．已知、、 成等比數列，，與 軸不垂直的直線 與C 交于不同的兩點、，記直線、的斜率分別為、，且．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）求證直線 與 軸相交于定點，并求出定點坐標；
（Ⅲ）當弦 的中點落在四邊形 內（包括邊界）時，求直線 的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析。（0，2）
（Ⅲ） 或

（Ⅰ）易知、、（其中），則由題意知有．又∵，聯立得．∴．
∵，∴．∴．
故橢圓C的方程為．                                         4分
（Ⅱ）設直線的方程為，、坐標分別為、．
由．
∴．                                6分
∵．
∴＝．
將韋達定理代入，并整理得，解得．
∴直線 與 軸相交于定點（0，2）．                                   10分
（III）由（Ⅱ）中，其判別式，得．①
設弦的中點坐標為，則，
∴點在軸上方，只需位于三角形內就可以，即滿足
  將坐標代入，整理得 
解得 ②
由①②得所求范圍為 或．                        14分