Question

如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結論中恒成立的個數為（　　）
（1）EP⊥AC； 
（2）EP∥BD；
（3）EP∥面SBD；
（4）EP⊥面SAC．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．
（1）由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，進而得到SO⊥AC．
可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，利用三角形的中位線可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，進而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．
（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，因此不可能EP∥BD；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反證法證明：當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．

解答：解：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．
（1）由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．
（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．
綜上可知：只有（1）（3）正確．即四個結論中恒成立的個數是2．
故選B．

點評：熟練掌握線面、面面的位置關系判定定理是解題的關鍵．