Question

如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P-CD-B為45°，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC中點M，連接ME、MF．由FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，知AE∥FM，且AE=FM，由此能證明四邊形AFME是平行四邊形，從而得到AF∥平面PCE．
（Ⅱ）由PA⊥平面AC，CD⊥AD，根據三垂線定理知，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，所以△PAD是等腰直角三角形，由AF⊥PD，AF⊥CD，得到面PEC⊥面PCD，由此入手能夠求出點F到平面PCE的距離．

解答：解：（Ⅰ）取PC中點M，連接ME、MF．
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，…（2分）
∴AE∥FM，且AE=FM，
即四邊形AFME是平行四邊形，
∴AF∥EM，∵AF?平在PCE，
∴AF∥平面PCE．…（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，
根據三垂線定理知，CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角，
P-CD-B的平面角，則∠PDA=45°…（6分）
于是，△PAD是等腰直角三角形，
∵AF⊥PD，又AF⊥CD，
∴AF⊥面PCD．而EM∥AF，
∴EM⊥面PCD．又EM?平面PEC，
∴面PEC⊥面PCD．…（8分）
在面PCD內過F作FH⊥PC于H，
則FH為點F到平面PCE的距離．…（10分）
由已知，PD=2

2

，PF=

1

2

PD=

2

，PC=

17

．
∵△PFH∽△PCD，
∴

FH

PF

=

CD

PC

，FH=

3 34

17

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點F到平面PCE的距離的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．