Question

如圖，建立空間直角坐標系D－xyz．正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點P在面對角線A₁B上，點Q在面對角線B₁C上．

(1)當點P是對角線A₁B的中點，點Q在對角線B₁C上運動時，探究|PQ|的最小值；

(2)當點Q是對角線B₁C的中點，點P在對角線A₁B上運動時，探究|PQ|的最小值；

(3)當點P在對角線A₁B上運動，點Q在對角線B₁C上運動時，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如題圖，由題意知：點A1(1，0，1)、點B1(1，1，1)、點B(1，1，0)、點C(0，1，0)． 　　(1)當點P是對角線A1B的中點，則由投影概念知點P(1，，)． 　　點Q在對角線B1C上運動，設點Q(a，1，a)，a∈[0，1]． 　　由空間兩點間的距離公式 　　得|PQ|＝． 　　當a＝時，|PQ|取得最小值為，此時點Q(，1，)． 　　(2)當點Q是對角線B1C的中點，則由投影概念知點Q(，1，)，點P在對角線A1B上運動，設點P(1，a，1－a)，a∈[0，1]．由空間兩點間距離公式， 　　得|PQ|＝ 　　當a＝時，|PQ|取得最小值為，此時點P(1，，)． 　　(3)當點P在對角線A1B上運動，點Q在對角線B1C上運動時，設點P(1，a，1－a)、點Q(b，1，b)，a、b∈[0，1]．由空間兩點間距離公式得 　　|PQ|＝ 　　 　　當b＝時，代入a－＋1＝0得a＝，即當a＝b＝時，|PQ|取得最小值為． 　　此時點P(1，，)、Q(，1，)． 　　深化升華：本題通過消元利用二次函數配方法求最值．

提示：

考查空間兩點間距離公式的應用及函數思想在解析幾何中的應用．