Question

已知函數，a∈R是常數．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）求時，f（x）零點的個數；
③求證：（n∈N^*，e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】分析：（1）討論含參數的函數的單調性問題，先求出導函數f′（x），令f′（x）＞0，本小題要對參數a分a≥0，-1＜a＜0，a≤-1三種情形進行討論，對運算能力要求較高；
（2），由（1）的結論-1＜a=＜0，所以分三個單調區間來利用單調性來討論函數的零點的個數問題．
（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
解答：解：（1），
若a≥0，則f′（x）＞0，f（x）在定義域內單調遞增；若a≤-1，
則f′（x）＜0，f（x）在定義域內單調遞減；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，，，
直接討論f′（x）知，f（x）在
和單調遞減，
在單調遞增．
（2）觀察得f（0）=0，時，
由①得f（x）在單調遞減，
所以f（x）在上有且只有一個零點；
，
計算得，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在區間單調遞增，
所以f（x）在上有且只有一個零點；
根據對數函數與冪函數單調性比較知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在區單調遞減，
所以f（x）在上
從而在上有且只有一個零點．
綜上所述，時，f（x）有3個零點．
（3）取a=-1，，
由①得f（x）單調遞減，
所以?x＞0，f（x）＜f（0）=0，，
從而ln（1+）（1+）…（1+）
=ln（1+）ln（1+）+…（1+）
＜++…，
由lnx單調遞增得．
點評：單調性刻畫函數兩個變量變化趨勢的一致性，是認識函數的重要角度，運用單調性可以確定函數零點的個數，考查導數使單調性可以定量、精確研究這一重要工具．參數是可變的常數，處理參數是比較高端的數學素養，本題考查了這一素養，因此對學生的綜合應用能力要求較高．