Question

【題目】已知拋物線的焦點為，直線與相切于點，

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設直線交于兩點，是的中點，若，求點到軸距離的最小值及此時直線的方程。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最小值為，此時直線的方程為

【解析】

（Ⅰ）設A（x0，y0），聯立直線方程和拋物線方程，運用判別式為0，結合拋物線的定義，可得拋物線方程；

（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率不為0，設l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯立拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，結合中點坐標公式和基本不等式可得所求直線方程．

（Ⅰ）設，聯立方程，得

由，得

，解得

故拋物線的方程為

（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率不為0，設l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4n＝0，

△＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，

|AB|8，

可得nm2，

2m，2m2+nm2

m2+1﹣1≥21＝3，

當且僅當m2+1，即m2＝1，即m＝±1，

T到y軸的距離的最小值為3，

此時n＝1，直線的方程為x±y﹣1＝0.