Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足：對(duì)任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1

【解析】

（Ⅰ）由已知得，

即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，

∴{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴，

因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列

所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

原式化為，

即f（n）=恒成立，

當(dāng)a–1＞0即a＞1時(shí)，不合題意；

當(dāng)a–1=0即a=1時(shí)，滿足題意；

當(dāng)a–1＜0即a＜1時(shí)，f（n）的對(duì)稱軸為，f（n）單調(diào)遞減，

∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；

綜上，a≤1.