Question

P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一點，點M，N分別是圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的動點，則|PM|-|PN|的最小值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先由已知條件知道雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心，再利用平面幾何知識把|PM|-|PN|轉化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離即可求|PM|-|PN|的最小值．

解答：解：雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的兩個焦點分別是F₁（-5，0）與F₂（5，0），
則這兩點正好是兩圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的圓心，
兩圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的半徑分別是r₁=2，r₂=1，
∴|PM|_min=|PF₁|-2，|PN|_max=|PF₂|+1，
∴|PM|-|PN|的最小值=（|PF₁|-2）-（|PF₂|+1）=6-3=3，
故選C．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．