Question

【題目】在直角坐標系xOy中，是以PF為底邊的等腰三角形，PA平行于x軸，點，且點P在直線上運動.記點A的軌跡為C.

（1）求C的方程.

（2）直線AF與C的另一個交點為B，等腰底邊的中線與直線的交點為Q，試問的面積是否存在最小值？若存在，求出該值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，值為.

【解析】

（1）根據拋物線的定義得軌跡為拋物線（去除頂點），從而可得其方程；

（2）設直線AB的方程為，，，直線方程代入拋物線方程整理可得，由拋物線的焦點弦弦公式求得弦長，再求出點到直線的距離，求得三角形面積（表示為的函數），由函數性質可得最小值．

（1）由題意得PA與直線垂直，且，

故點A到定點的距離和到直線的距離相等，

由拋物線的定義可得，C是以為焦點，

直線為準線的拋物線(除原點O)，

故C的方程為.

（2）存在．

設直線AB的方程為，，，

由，得，

則，，.

因為，，所以，

則. 又P的坐標為，

所以PF的中點為，

故底邊的中線所在的直線方程為.

令，得，

故Q的坐標為. 點Q到直線AB的距離，

所以，

故當時，取得最小值4.