Question

【題目】如圖，，，…，是曲線：上的點，，，…，是軸正半軸上的點，且，，…，均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）.

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）猜測并證明數列的通項公式；

（3）設，集合，，若，求實常數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2），證明見解析；（3）.

【解析】

（1）依題意利用等腰直角三角形的性質可得，，.

（2）由得，即，猜測，再用數學歸納法進行證明.

（3）用裂項法求得的值為，由函數在區間上單調遞增，且，求得，再由，由，有，或，由此求得實常數的取值范圍.

（1）依題意利用等腰直角三角形的性質可得，，.

（2）由得，

即，猜測.

證明：①當時，可求得，命題成立.

②假設當時，命題成立，即有，

則當時，由歸納假設及，

得，

即，

解得，（不合題意，舍去），

即當時，命題成立.

綜上所述，對所有，.

（3）

.

因為函數在區間上單調遞增，且，

所以.

，

由，有，或，

故.