Question

在平面直角坐標系中，若兩個不同的點A（a，b），B（-a，-b）均在函數y=f（x）的圖象上，則稱[A，B]為函數f（x）的一組關于原點的中心對稱點（[A，B]與[B，A]看作同一組），函數g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

關于原點的中心對稱點的組數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：作出函數g（x）的圖象，根據y=2sin4x是R上的奇函數，可得函數y=2sin4x圖象在原點右邊的部分與y=log₂（x+1）在原點右邊的圖象有交點的個數，即為函數g（x）關于原點的中心對稱點的組數．由此不難得到本題的答案．

解答：解：作出函數數g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

的圖象，
當x≤0時，函數圖象是三角函數y=2sin4x圖象在原點左邊的部分；
當x＞0時，函數圖象是y=log₂（x+1）圖象在原點右邊的部分．
為了找出關于原點的中心對稱點，作出y=2sin4x圖象在原點右邊的部分．
因為y=2sin4x是R上的奇函數，所以y=2sin4x圖象在原點右邊的部分與
y=log₂（x+1）在原點右邊的圖象有幾個交點，函數g（x）關于原點的中心
對稱點的組數就有幾對．
∵當0＜x≤3時，log₂（x+1）的取值小于2，兩個圖象有三個交點
當x＞3時，log₂（x+1）的取值大于2，而2sin4x≤2，兩圖象沒有公共點
∴函數g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

關于原點的中心對稱點共有3組
故選C

點評：本題給出分段函數，求函數關于原點的中心對稱點的組數．著重考查了三角函數、對數函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．