Question

若函數f(x)=2x的反函數為f-1(x)，且f-1(a)+f-1(b)=4，則

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本題考查反函數的概念、反函數的求法、指數式和對數式的互化、對數的運算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相關知識．
根據y=2^x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（a）+f^-1（b）=4可得a、b的關系式，根據基本不等式

a+b

2

≥

ab

即可得到

1

a

+

1

b

最小值．

解答：解：由y=2^x解得：x=log₂y
∴函數f（x）=2^x的反函數為f^-1（x）=log₂x，x＞0
由f^-1（a）+f^-1（b）=4得：log₂a+log₂b=4
即：log₂ab=4
∴ab=16
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=2

1 16 =

1

2

即b

1

a

+

1

b

的最小值是

1

2

．
答案：

1

2

點評：本題小巧靈活，用到的知識比較豐富，具有綜合性特點，涉及了反函數、指數式和對數式的互化、對數的運算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知識，是這些內容的有機融合，思維密度較大；
解題中用注意對數的運算公式化簡log₂a+log₂b=4得a、b的關系式．