Question

在△ABC中，已知AC=2，AB=1，且角A、B、C滿足cos2A+2sin2

B+C

2

=1．
（I）求角A的大小和BC邊的長；
（II）若點P是線段AC上的動點，設點P到邊AB、BC的距離分別是x，y．試求xy的最大值，并指出P點位于何處時xy取得最大值．

Answer 1

分析：（I）通過二倍角的余弦函數，化簡表達式，求出在△ABC中cosA 的值，即可得到A的值．
（II）利用正弦定理求出B的值，建立坐標系，利用基本不等式求出xy的最大值即可．

解答：解：（I）因為cos2A+2sin2

B+C

2

=1，
所以2cso²A+cosA-1=0，∴cosA=

1

2

，cosA=-1（舍去），
所以A=

π

3

，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=2²+1²-2×2×1×

1

2

=3，
所以BC邊的長為

3

；
（II）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，sinB=

b

a

sinA=

2

3

×

3

2

=1，B=

π

2

．以B為原點建立坐標系如圖，
P（x，y）P在線段AC 上，所以x+

3

y=

3

（x，y≥0）由基本不等式可得：

3

=x+

3

y≥2

3 xy

，可知xy≤

3

4

，
當x=

3

，y=

3

2

時等號成立．
所以當P點與線段AC的中點重合時，xy取得最大值

3

4

．

點評：本題主要考查余弦定理，二倍角公式及誘導公式的應用，基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．