Question

【題目】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中點，求證：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據直棱柱的性質，可得平面，可得，再根據等腰三角形性質可得，從而可得平面，進而得出結果；（2）連接，設，連接，由平行四邊形的性質結合中位線定理可得.根據線面平行的判定定理可得結果.

試題解析：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC．

因為AE平面ABC，

所以CC1AE．

因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AEBC．

因為BC在平面B1BCC1，內，CC1在平面B1BCC1內

且BC∩CC1＝C，

所以AE平面B1BCC1．

因為AE在平面AB1E內

所以平面AB1E平面B1BCC1.

（2）連接A1B，設A1B∩AB1＝F，連接EF．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1B1B為平行四邊形，

所以F為A1B的中點．

又因為E是BC的中點，所以EF∥A1C．

因為EF在平面AB1E內，A1C不在平面AB1E內，

所以A1C∥平面AB1E.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面垂直、面面垂直的判定，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.