Question

某國由于可耕地面積少，計劃從今年起的五年填湖圍造一部分生產和生活用地，若填湖費、購置排水設備費等所需經費與當年所填湖造地面積x（畝）的平方成正比，其比例系數為a，設每畝水面的年平均經濟效益為b元，填湖造地后的每畝土地的年平均收益為c元（其中a，b，c均為常數）．
（1）若按計劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值．
（2）如果填湖造地面積按每年1%的速度減少，為保證水面的畜洪能力和環保要求，填湖造地的總面積不能超過現有水面面積的25%，求今年填湖造地的面積最多只能占現有水面的百分之幾．
注：根據下列近似值進行計算：
0.99²≈0.98，0.99²≈0.97，0.99⁴≈0.96，0.99⁵≈0.95，0.99⁶≈0.94，0.99⁷≈0.93．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意收益不小于支出的條件可以表示為cx≥ax²+bx，化簡的x[ax-（c-b）]≤0，故只需分別看c-b≤0和c-b＞0兩種情況下的關系．
（2）設該地現在水面m畝，今年填湖造地x畝．依題意可得到關系式，進而求出x的范圍．
解答：解：（1）收益不小于支出的條件可以表示為cx≥ax²+bx，
所以ax²+（b-c）x≤0，x[ax-（c-b）]≤0．
當，此時不能填湖造地，
當c-b＞0，即，此時所填面積的最大值為畝；
（2）設該地現在水面m畝，今年填湖造地x畝．
則x+（1-1%）x+（1-1%）²x+（1-1%）³x+（1-1%）⁴x≤0.25m，
即，
因此今年填湖造地面積最多只能占現有水面的．
點評：本題主要考查了等比數列的求和問題．數列的求和問題是數列重要內容之一常與函數、不等式、極限等一塊考查，平時應多積累求和的各種方法．