【題目】已知橢圓
的離心率為
，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線
相切.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設橢圓過右焦點
的弦為
、過原點的弦為
，若
，求證：
為定值.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
試題分析：
(Ⅰ)由題意結合點到直線距離公式可得
.結合離心率計算公式有
.則橢圓
的方程為.
(Ⅱ)對直線的斜率分類討論：當直線
的斜率不存在時，
.當直線的斜率存在時，設
，
，
，
，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有
，由弦長公式可得
.聯(lián)立直線
與橢圓方程，結合弦長公式有
.計算可得.據(jù)此可得：為定值.
試題解析：
（Ⅰ）依題意，原點到直線
的距離為
，
則有.
由
，得
.
∴橢圓的方程為.
（Ⅱ）證明：（1）當直線的斜率不存在時，易求
，
，
則.
（2）當直線的斜率存在時，
設直線的斜率為
，依題意
，
則直線的方程為
，直線
的方程為.
設，，，，
由
得，
則
，
，
.
由
整理得
，則
.
.
∴
.
綜合（1）（2），為定值.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其名命名的函數(shù)
被稱為狄利克雷函數(shù)，其中
為實數(shù)集，
為有理數(shù)集，則關于函數(shù)
有如下四個命題：①
；②函數(shù)是偶函數(shù)；③任取一個不為零的有理數(shù)
，
對任意的
恒成立；④存在三個點
，
，
，使得
為等邊三角形.其中真命題的個數(shù)有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)g(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向右平移
個單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖象．求：
(1)函數(shù)f(x)在
上的值域；
(2)使f(x)≥2成立的x的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖是一幾何體的平面展開圖,其中
為正方形,
分別為
的中點,在此幾何體中,給出下面四個結論:①直線
與直線
異面;②直線與直線
異面;③直線
平面
;④平面
平面
;其中正確的是_____.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的各項均為正數(shù)， 
是數(shù)列
的前
項和，且
.
（1）求數(shù)列
的通項公式；
（2）已知
，求
的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在本市某舊小區(qū)改造工程中，需要在地下鋪設天燃氣管道.已知小區(qū)某處三幢房屋分別位于扇形
的三個頂點上，點
是弧
的中點，現(xiàn)欲在線段
上找一處開挖工作坑
（不與點
，重合），為鋪設三條地下天燃氣管線
，
，
，已知
米，
，記
，該三條地下天燃氣管線的總長度為
米.
（1）將表示成
的函數(shù)，并寫出的范圍；
（2）請確定工作坑的位置，使此處地下天燃氣管線的總長度最小，并求出總長度的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】甲同學參加化學競賽初賽，考試分為筆試、口試、實驗三個項目，各單項通過考試的概率依次為
、
、
，筆試、口試、實驗通過考試分別記4分、2分、4分，沒通過的項目記0分，各項成績互不影響.
（Ⅰ）若規(guī)定總分不低于8分即可進入復賽，求甲同學進入復賽的概率；
（Ⅱ）記三個項目中通過考試的個數(shù)為
，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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