Question

【題目】已知直線與軸相交于點，點坐標為，過點作直線的垂線，交直線于點．記過、、三點的圓為圓．

（1）求圓的方程；

（2）求過點與圓相交所得弦長為的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根據題意，由直線的方程求出的坐標，分析可得圓是以為直徑的圓，求出圓心與半徑，結合圓的標準方程分析可得答案；

（2）根據題意，設要求直線為，計算出圓心到直線的距離為，分兩種情況討論：①直線的斜率存在，可得出直線的方程為，驗證即可；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，利用圓心到直線的距離求出的值.綜合可得出所求直線的方程.

（1）根據題意，直線與軸相交于點，則，

又由，則，

則圓是以為直徑的圓，其圓心，半徑，

因此，圓的方程為；

（2）直線的方程為，聯立，解得，即點.

設要求直線為，且與圓的交點為、，

圓心到直線的距離，

分兩種情況討論：

①當直線的斜率不存在，則的方程為，

易得圓心到直線的距離為，符合題意；

②當直線的斜率不存在，設直線的方程為，即，

若圓心到直線的距離為，則有，解得，

則此時直線的方程為.

綜上所述，所求直線的方程為或.