Question

已知函數f（x）=ax³-x²+ln（x+1）（a∈R），在x=1處的切線與直線3x-2y+5=0平行．
（1）當x∈[0，+∞）時，求f（x）的最小值；
（2）求證：

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln（n+1）（n≥2且n∈N）．

Answer 1

分析：（1）先利用導數的四則運算計算函數f（x）的導函數f′（x），再利用導數的幾何意義求得a的值，最后證明函數當x∈[0，+∞）時的單調性，利用單調性求函數最值；（2）利用（1）中的結論，即f（x）在[0，+∞）上恒大于或等于零，結合所證不等式的形式，只需設x=

1

n

，即可構造兩個具有不等關系的數列，分別求和即可證明所證不等式

解答：解：（1）由已知f′（x）=3ax²-2x+

1

x+1

∵函數f（x）在x=1處的切線與直線3x-2y+5=0平行
∴f′（1）=3a-2+

1

2

=

3

2

∴a=1
∴f（x）=x³-x²+ln（x+1），f′（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

＞0  （x≥0）
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（0）=0
（2）令x=

1

n

．（n∈N^*） 則：f（

1

n

）＞0
∴

1

n3

-

1

n2

+ln（1+

1

n

）＞0
即：

n-1

n3

＜ln（1+

1

n

）
∴

1

23

＜ln（1+

1

2

），

2

33

＜ln(1+

1

3

)，…，

n-1

n3

＜ln（1+

1

n

）
∴

1

23

+

2

33

+…+

n-1

n3

＜ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）=ln（

3

2

•

4

3

…

n+1

n

）=ln

n+1

2

＜ln（n+1）
∴不等式成立．

點評：本題綜合考查了函數與數列的應用，導數的幾何意義，利用導數證明函數的單調性進而求函數最值得方法，利用函數不等式證明數列不等式的方法．