Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分．

已知負數和正數，且對任意的正整數n，當≥0時, 有[, ]=

 [, ]；當<0時, 有[, ]= [,]．

（1）求證數列{}是等比數列；

（2）若，求證；

（3）是否存在，使得數列為常數數列？請說明理由

 

 

Answer 1

【答案】

（1）當≥0時，b_n+1－a_n+1= -a_n= ；

當<0, b_n+1－a_n+1 = b_n- = ．

所以，總有b_n+1－a_n+1 = (b_n-a_n),                      

又，可得，                     

所以數列｛b_n－a_n｝是等比數列．                           ………………4分

（2）①由，可得，故有，

∴，，從而，

故當n=1時，成立．                            ………………6分

②假設當時，成立，即，      

由，可得，                   

, 故有，

∴,                        ………………9分

,故有

∴, ，故

∴當時，成立．

　綜合①②可得對一切正整數n，都有．              ………………12分

（3）假設存在，使得數列為常數數列，

 由（1）可得b_n－a_n=()^n-1，又，

故b_n=()^n-1，                                  ………………14分

由恒成立，可知≥0,即()ⁿ≥0恒成立，

 即2ⁿ≤對任意的正整數n恒成立，                 　 ………………16分

又是正數，故n≤對任意的正整數n恒成立，

因為是常數，故n≤不可能對任意正整數n恒成立．

故不存在，使得數列為常數數列．　　　　　　　    ………………18分

 

【解析】略