Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值．

Answer 1

分析：（1）分別將A，B，O的坐標代入，通過方程組求a，b，c．
（2）利用二次函數的圖象和性質，結合對稱軸的性質，求AM+OM的最小值．

解答：解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）代入y=ax²+bx+c中，
得

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

，解得a=-

1

2

，b=1，c=0，
所以解析式為y=-

1

2

x²+x．
（2）由y=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，可得拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB，
∴OM=BM，
∴OM+AM=BM+AM，
連接AB交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小，
過點A作AN⊥x軸于點N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

=

42+42

=4

2

，
因此OM+AM最小值為4

2

．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用配方法是解決二次函數的基本方法．