Question

已知數列滿足，且，
（1）當時，求出數列的所有項；
（2）當時，設，證明：；
（3）設（2）中的數列的前項和為，證明：.

Answer 1

（1），，；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先將代入找出遞推公式，逐一求出數列的每一項；（2）通過式子的變形找出的形式，利用放縮法比較大小；（3）放縮法求出解析式，再利用等比數列得求和公式求和.
試題解析： （1）證明：∵，，
∴，，
由于當時，使遞推式右邊的分母為零。
∴數列只有三項：.            （3分）
（2），易知：，
又，
∴                                                  （5分）
由


，

即                                                     （8分）
（3）由（2）知： ，
∴
∵，
∴                                 （11分）

，
∴                                                    （13分）