Question

【題目】設函數f（x）= ﹣k（ +lnx）（k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數）． （Ⅰ）當k≤0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）， ∴f′（x）= ﹣k（ ﹣ ）
= （x＞0），
當k≤0時，kx≤0，
∴ex﹣kx＞0，
令f′（x）=0，則x=2，
∴當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴f（x）的單調遞減區間為（0，2），單調遞增區間為（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0時，函數f（x）在（0，2）內單調遞減，
故f（x）在（0，2）內不存在極值點；
當k＞0時，設函數g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．
∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk ，
當0＜k≤1時，
當x∈（0，2）時，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）單調遞增，
故f（x）在（0，2）內不存在兩個極值點；
當k＞1時，
得x∈（0，lnk）時，g′（x）＜0，函數y=g（x）單調遞減，
x∈（lnk，+∞）時，g′（x）＞0，函數y=g（x）單調遞增，
∴函數y=g（x）的最小值為g（lnk）=k（1﹣lnk）
函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點
當且僅當
解得：e
綜上所述，
函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點時，k的取值范圍為（e， ）
【解析】（Ⅰ）求出導函數，根據導函數的正負性，求出函數的單調區間；（Ⅱ）函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，等價于它的導函數f′（x）在（0，2）內有兩個不同的零點．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況即可以解答此題．