Question

【題目】在平面直角坐標系中，四個點，，，中有3個點在橢圓：上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過原點的直線與橢圓交于，兩點（，不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點，設直線，的斜率分別為，，證明：存在常數使得，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據橢圓的對稱性可知，關于軸對稱的，在橢圓上.分類討論，當在橢圓上時，當在橢圓上時，分別求解，根據確定，即可.

（2）設，，由題意可知，，設直線的方程為，與橢圓聯立，變形整理得，確定，，從而，直線的方程為，分別令、確定點與點的坐標，求直線，的斜率分別為，，求解即可.

（1）∵，關于軸對稱.

∴這2個點在橢圓上，即①

當在橢圓上時，②

由①②解得，.

當在橢圓上時，③

由①③解得，.

又

∴，

∴橢圓的方程為.

（2）設，，則.

因為直線的斜率，又.

所以直線的斜率.

設直線的方程為，由題意知，.

由可得，

所以，.

由題意知，所以，所以直線的方程為，令，得，即，可得，

令，得，即，可得，

所以，即，因此，存在常數使得結論成立.